Square Root of Matrix A

السبت، 3 مارس 2012

Square Root of Matrix A

An n × n matrix A is diagonalizable if there is a matrix V and a diagonal matrix D such that

A = V D V - 1

. This happens if and only if A has n eigenvectors which constitute a basis for Cⁿ. In this case, V can be chosen to be the matrix with the n eigenvectors as columns, and a square root of

A

$R = V S V^{-1}, \,$

where S is any square root of D. Indeed,

$(V D^{1/2} V^{-1})^2 = V D^{1/2} (V^{-1} V) D^{1/2} V^{-1} = V D V^{-1} = A\,$

For example, the matrix $A = \bigl(\begin{smallmatrix}\\ 33&24\\ 48&57\end{smallmatrix} \bigr)$ can be diagonalized as

V D V - 1

, where $V = \bigl( \begin{smallmatrix}\\ 1&~\;1\\ 2&-1\end{smallmatrix} \bigr)$ and $D = \bigl( \begin{smallmatrix}\\ 81&0\\ ~\;0&9\end{smallmatrix} \bigr)$ .

D

has principal square root $D^{1/2} = \bigl( \begin{smallmatrix}\\ 9&0\\ 0&3\end{smallmatrix} \bigr)$ , giving the square root $A^{1/2} = V D^{1/2} V^{-1} = \bigl( \begin{smallmatrix}\\ 5&2\\ 4&7\end{smallmatrix} \bigr)$

تنبيه : المرجوا عدم نسخ الموضوع بدون ذكر مصدره المرفق بالرابط المباشر للموضوع الأصلي وإسم المدونة وشكرا

هل اعجبك هذا الموضوع ؟

ليست هناك تعليقات:

إرسال تعليق

جميع الردود تعبّر عن رأي كاتبيها فقط. حريّة النقد والرد متاحة لجميع الزوار بشرط أن لا يكون الرد خارج نطاق الموضوع وأن يكون خال من الكلمات البذيئة. تذكّر قول الله عز وجل (مَا يَلْفِظُ مِن قَوْلٍ إِلاَّ لَدَيْهِ رَقِيبٌ عَتِيد).